Nikako ne uspevam da nateram
da mi prikaže \rightrightarrows - tako da (privremeno) odustajem
-koristiću \overrightarrow{\to}
I) Pošto zadatak ne bi imao smisla ukoliko dati integral ne konvergira - pozabavimo se prvo time.
Neka je
,
.
Vidimo da je:
pa je singularitet samo u tački
. Takođe, smatraćemo da je
.
Neka je zato
i neka je
.
Pokazaćemo da je ovaj limes uvek konačan.
Dakle, dokažimo da
ravnomerno konvergira po
kad
tj. da
.
Upotrebićemo
Vajerštrasov kriterijum i pri tom, budući da na konvergenciju utiče samo ponašanje podintegralne f-je u nekoj okolini singulariteta - posmatraćemo f-ju na intervalu
za neko fiksirano
.
Za svako
i svako
važi:
za neko
.
To je posledica neprekidnosti (pa samim tim i ograničenosti) f-je
na kompaktnom skupu
(pa time i na
) a upotrebljeno je i
što je posledica važenja relacije
na
.
Parcijalnom integracijom dobijamo
čime je dokazano
.
U narednim tačkama koristiću neke osnovne teoreme - da ih ne bi prekucavao, pozivaću se na njihovu numereciju u drugom izdanju knjige
Matematička analiza 2,
D. Adnađević, Z. Kadelburg.
1. Treba ispitati neprekidnost f-je
. Možemo da upotrebimo neprekidnost f-je
na
pa rezultat direktno sledi na osnovu teoreme
7.3.2.
A možemo i da se malo pomučimo (ipak je to zadatak sa ispita
) i upotrebimo teoremu
7.3.1 jer imamo da int. ravnomerno konvergira a i za svako
na
za svako
. Evo odakle to sledi:
Neka je
dato.
F-ja
je neprekidna (pa i ograničena nekim
) na
.
- ovo poslednje sledi iz ograničenosti neprekidne f-je
na
.
Sada je jasno da postoji
tako da iz
sledi
, pa najzad imamo
za svako
što tačno znači da
pa iz teoreme
7.3.1 sledi
.
2. Ovde bi mogli da upotrebimo teoremu
7.3.3 (dovoljni uslovi za upotrebu
Lajbnicovog pravila na nesvojstvene parametarske integrale), ako pokažemo da važe svi potrebni uslovi.
i) f-ja
je neprekidna na
.
ii) Za svako
integral
ravnomerno konvergira na
. To sledi na osnovu
Vajerštrasovog kriterijuma:
za svako
i svako
važi
za neko
- to sledi iz ograničenosti f-je
na
(gledano kao f-ja po
). Ravnomerna konv. sledi zbog konvergencije integrala
.
iii) (ravnomerno) konvergira na
time su provereni svi uslovi pa na osnovu teoreme
7.3.3 sledi tvrđenje pod
2.
3. Sada moramo da izračunamo
- jer bi nam to moglo pomoći u pronalaženju
.
U integralu
uvodimo smenu
.
integral postaje
Dakle, imamo da je
a odatle odmah dobijamo
.
Na osnovu definicije f-je
vidimo da je
.
Budući da sam ovo ukucavao/proveravao direktno u polju za upis odgovora - valjda ne moram da objašnjavam koliko sam se napatio
[Ovu poruku je menjao uranium dana 24.08.2006. u 02:17 GMT+1]
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.